离散数学(8) 函数

今天我们讲的主题是函数,他跟我们平时数学里面学到的函数以及计算机编程语言里面的函数的概念有点出入,但是概念又十分相近。

先上定义

举个例子,我们有单数集合A = {1,3,5,7,9}, 现在有一个函数f, 它会将A跟另一个集合B联系起来,写作 a = f(b), a \in A, b \in B

如果这个函数的操作是f(x) = x+1, 那么B = {2,4,6,8}
如果这个函数的操作是f(x) = x*2,那么B= {2,6,10,18}

如果函数是从A到B, 我们就说A是定义域(Domain),B是伴域(Range)。

函数有三种类型,单射,双射和满射

单射

定义域中所有元素都有且只有一个对应的伴域元素

如图所示,两个椭圆代表两个集合,左边的是定义域,右边的是伴域

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下图也是单射,因为它满足了单射的条件,所有定义域的元素都有且只有一个映射对象。

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满射

一个函数称为 满射 如果每个可能的像至少有一个变量映射其上,或者说伴域任何元素都有至少有一个变量与之对应

上面的图中,第一张表示的就是一个满射函数,因为所有伴域元素都有一个相应的定义域元素

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下图也是一个满射函数

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双射

既满足单射,也满足满射的函数我们称之为双射函数。显然我们上面的例子中有这样的函数

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不是函数

下图表达的不是函数,因为出现了f(a) = 2, f( b ) = 2的情况

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反函数

如果一个函数 f 是关于a = f(b) 的双射函数,那么就有一个反函数f ^{-1}, b = f^{-1}(a)

函数组合

如果有这么一个函数将集合A和B联系起来,它长这样 f(a) = b, $a \in A, b \in B$;又有另一个函数将B和C两个集合联系起来,它长这样g(b) = c, b\in B, c \in C.那么我们就称能将集合A和C联系起来的函数为组合函数,记作 f \circ g

(f \circ g) (a) = c

表述方式

如果有一个方程f,将集合A和B联系起来。我们可以写作 f: A \rightarrow B

课后练习

  1. 有函数 f(x) = x+2, g(x) = x*4。请问 f \circ g 长什么样子
  2. 请写一个 f:\mathcal{Z} \rightarrow R 的方程