离散数学 (7) 集合的操作以及恒等式

我们今天来深入聊聊集合之间的关系。

我们假设以下成员:小一,小二,小三,小四,小五,小六,小七

并且有以下集合

吸烟的人 = {小一,小二,小三}

喝酒的人 = {小二,小三,小五,小六 }

晚睡的人 = {小四,小五}

纵欲的人 = {小二,小三,小四}

并集

集合A和B的并集就是那些即在集合A又在集合B的元素的集合, 我们用 A \cup B 来表示它。

什么意思呢?

我们将吸烟和喝酒的人作为一个集合来看的话,它长这样

吸烟和喝酒的人 = {小一, 小三,小二,小五,小六}

这个集合里的人是要么喝酒要么吸烟的,它不关心什么晚睡和纵欲的人。我们称“吸烟和喝酒的人”这个集合为集合“吸烟的人”和“喝酒的人”的并集。

如果我们画一幅图来表示的话,它长这个样子

这种能表达集合之间的逻辑关系的图我们称之为文氏图

交集

集合A和集合B的交集就是那些不但在集合A中也在集合B中的元素的集合, 我们用 A \cap B 来表示它。

用上面的例子,我们找出又吸烟又喝酒的人,并且可以用文氏图这样表示出来。

如果两个集合的交集是空集,我们就说这两个集合不相交

差集

集合A和集合B的差集是所有只属于A而不属于B的元素的集合, 我们用 A - B 来表示它。

用上面的例子,我们可以找出只吸烟不喝酒的人

补集

另集合U为全集, 也就是所有元素的集合,我们说集合A的补集。也就是那些所有不在A中的元素的集合。我们用 \overline{A} 来表示它

下面的文氏图表示的是所有不吸烟的人,也就是集合“吸烟的人”的补集

集合恒等式

和逻辑恒等式一样,集合也有自己的恒等式。

课后作业

  1. 找出又抽烟又喝酒又纵欲的人的集合,并画出文氏图
  2. 找出抽烟但不晚睡的人的集合,并画出文氏图
  3. 找出不晚睡的人的集合,并画出文氏图
  4. 用逻辑恒等式证明 (A \cap B) \cup (B \cap A) = A