命题逻辑
命题
命题 (Proposition)是一个定义事物和现象的陈述句。
比如说:
-
我刚吃完饭 （命题）
-
雪是白色的 （命题）
-
太阳从西边升起 （命题）
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1 + 1 = 1 （命题）
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你吃饭了吗？ （非命题）
-
这真是个好主意！（非命题）
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今天下雨了（命题）
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我带雨伞出门（命题）
所有命题都有一个属性，或真或假。比如上面的例子中命题3，4基于事实是个假命题。
如果一个命题是真命题，他的真值就是__真（T)__；相反，如果一个命题是假命题，他的真值就是 假(F)。
逻辑
我们可以用字母来表示这些命题，并且加入逻辑运算符来将两个命题合并起来，我们称他们为复合命题
我们可以用 \neg , ~, 或上划线 \overline{p} 符号来表示和命题相反的事实。
例如：
让 p = “1 + 1 = 1”， 那么 \neg p 的意思就是"1 + 1 \not = 1"
让 q = “雪是白色的”， 那么 \neg q 表示"雪不是白色的"
可以发现, 经过"非" 这个逻辑运算符，命题的真值会被改变。下面是该逻辑运算符的真值表(truth table)
| p | \neg p |
| — | — |
| T | F |
| F | T |
我们可以用 \wedge 来表示表示"p 并且 q"。
例如:
p: “他是男生”
q: “他是个程序员”
p \wedge q 的意思就是 “他是个男生，并且他是个程序员”
真值表中，只有当两个命题的真值为真的时候才是真，其余为假。
| p | q | p \wedge q |
| — | — | — |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F
我们可以用 \vee 来表示表示"p 或者 q"。
例如:
p: “他是男生”
q: “他是女生”
p \vee q 的意思就是 “他是个男生或者女生”
真值表中，任何一个命题为真都能使整个复合命题的真值成真。
| p | q | p \vee q |
| — | — | — |
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F | |
我们可以用 \rightarrow 来表示 “如果A 则 B”
例如：
p: “他感冒了”
q: “他不能喝冷饮”
p \rightarrow q 的意思就是 “如果他感冒了，他就不能喝冷饮”
真值表中，只有当条件为真的时候，结果才为真。
| p | q | p \rightarrow q |
| — | — | — |
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | F |
| F | F | F | |
我们可以用 \leftrightarrow 来表示"A 当且仅当 B"
例如：
p: “小明和小红是朋友”
q: “小明和小红经常一起玩耍”
p \leftrightarrow q 的意思就是 “小明和小红是朋友，当且仅当小明和小红经常一起玩耍”。
不必怀疑中文水平，这句话的意思表达了两个意思
-
如果小明和小红是朋友，则他们两个经常一起玩耍
-
如果小明和小红互相认识，他们两个就是朋友。
换句话说， p \leftrightarrow q = (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)
他的真值表长这样
| p | q | p \leftrightarrow q |
| — | — | — |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T | |
另外还有其他复合命题如逻辑异或等就不一一列举了。知道两个以上的命题组成的命题叫复合命题之后，我们可以给那些不能再分解成更小的命题的命题下定义了
原子命题不包含其他命题作为其组成部分的命题，即在结构上不能再分解出其他命题的命题．又称简单命题。原子命题不能带有非，或，且，如果，那么等联结词。 （百度百科）
如何判断复合命题的真值？
我们知道给出一个原子命题，它的真值非真即假。那复合命题的真值怎么确定呢？
真值表
经过上面对复合命题的介绍，我们知道真值表是一个表格，它将命题的所有真值都列了出来。假设一个复合命题有n个子命题，那么这个复合命题的真值表就有$2^n$行。
例如 (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p) 有p和q两个子命题。那么这个复合命题的表格就有 2^2 = 4 行。
| p |q |
| — | — |
| | |
| | |
| | |
| | |
我们将表格第一列对半分填上真和假两种类型的值（第一种真值类型必须填真）
| p |q |
| — | — |
| T | |
| T | |
| F | |
| F | |
然后第二列在第一列的基础上再对半分写出真和假两种值
| p | q |
| — | — |
| T | T |
| T | F |
| F | T |
| F | F |
以此类推，不管有多少子命题，最后一列真值总能是真假互换地将表格填完的。
接下来我们将上面的逻辑表达式填到新加的列中。
| p | q | (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p) |
| — | — | — |
| T | T | |
| T | F | |
| F | T | |
| F | F | |
逻辑表达式的先后顺序总是有括号先算括号内,其余按照以下的优先规则：¬高于∧，∧高于∨，∨高于→。我们先看括号内的逻辑表达式， p \rightarrow q 在 p和q都为真的情况下真值为真 q \rightarrow p 同理。
我们再看括号外的的$\vee$, 在前后两个命题为真的情况下 T \wedge T ，真值为真， 所以第一行我们填真
| p | q | (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p) |
| — | — | — |
| T | T | T |
| T | F | |
| F | T | |
| F | F | |
依此类推，我们将整个表格填完
| p | q | (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p) |
| — | — | — |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
如此，复合命题的真值就确定了。给出子命题的真值后，复合命题的真值也能推算出来。
两种特殊命题
当复合命题的真值永远为真，即子命题的真假不影响复合命题的真假时，我们说这个复合命题叫永真式(tautology)；当复合命题的真值永远为假的时候，我们称这个复合命题叫永假式(contradiction)，也叫矛盾式。
另外，当两个命题的真值一样的时候，我们说两个命题相等。在上面的阅读中，我们讲到
p \leftrightarrow q = (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)
同时我们也看到他们的真值是一样的。事实上我们应该用 \equiv 符号来表示两个命题相等。
课后作业
让p = “今天下雨了”， q = “我要带伞出门”， r = “今天天气不错”
请写出以下句子的符号
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“如果今天下雨，我就带伞出门”
-
“今天天气不错，今天没有下雨”
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”今天没有下雨，所以我不用带伞出门"
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”我不带伞出门，但是如果我带了，说明今天会下雨"
找出下列句子中的命题并符号化（注明所用字母所代表的命题）
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2大于1且3大于2, 所以3大于1
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我只有早上错过公交车以后才用嘀嘀打车
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为什么这么简单的道理他都不懂？
-
谁知道呀！
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我首先是个女生，然后才是个护士。
-
我是个程序员而且是个企业高管。
用真值表证明 (p \rightarrow q) \vee (q \vee p) 是一个永真式。
用真值表证明 p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q
"这句话的真值是假的"是一个命题吗？
好像坛子的markdown还不支持表格…大家翻翻书看看真值表吧。Google也行